Transformada de Fourier y la Red Recíproca

Un átomo y su transformada de Fourier:

Nótese que ambas funciones tienen simetría esférica y mientras que el átomo aparece nítido su transformada es ancha y suave. Esto ilustra la relación recíproca entre una función y su transformada.

Una molécula y su transformada de Fourier:
La molécula consiste de 7 átomos, su transformada presenta cierto detalle pero la forma es todavía la de la transformada atómica. Esta transformada es el producto de la trasformada atómica y las posiciones.

Una red y su transformada de Fourier:

Los puntos de la red son puntos delta (exagerados). Nótese que la transformada de la red es una red con direcciones y espaciamientos recíprocos. Este es el origen de la red recíproca.

Un cristal y su transformada de Fourier:
Finalmente construimos un cristal haciendo una convolución de una molécula con una red. El resultado es una estructura cristalina. La transformada de Fourier es pues el producto de la transformada molecular y la red recíproca.

Un pato y su transformada de Fourier:
Noten sus mercedes que la imagen real da a lugar a un patrón de difracción Hermitiano, al cual ustedes conocen bien.

Un pato y su transformada de Fourier inversa:
Si tenemos los términos de baja resolución del patrón de difracción obtenemos un pato de baja resolución. Es decir hay una pérdida considerable

Si perdemos datos de resolución media. Habrá aristas finas pero aparecerá chorreado

Cuando tenemos los términos de alta resolución solamente veremos los bordes del pato . Será difícil distinguir las clases de átomos

Cuando tenemos que un segmento de los datos se ha perdido las características perpendiculares al segmento aparecerán borrosas. Habrá serios problemas con los factores de temperatura

Si perdemos 10% de los datos en capas. Se observa este efecto

Si perdemos 10% de los datos aleatoreamente. Se promedian las pérdidas

http://depa.fquim.unam.mx/jesusht/02-rayosX-difrac-SA.pdf

Nombre: Victor Adolfo Vega Flores
Ci: V-18.353.846
Asignatura: CRF

Difracción y la transformada de Fourier

¿Qué es la transformada de Fourier?

Es una representación de alguna función en términos de un conjunto de ondas sinusoidales. Este conjunto de ondas es ortogonal, es decir que ninguna de las funciones del conjunto puede obtenerse como una combinación lineal de las otras. En particular un conjunto de ondas sinusoidales de diferente frecuencia es ortogonal. Una buena analogía es la de los tres colores primarios (Rojo, verde y azul), no hay ninguna combinación de dos de ellos que produzca el tercero, pero con estos tres puedo generar cualquier color. De manera similar mezclando ondas sinusoidales de cualquier frecuencia en las proporciones adecuadas se puede construir cualquier función arbitraria.

Se puede demostrar que es posible representar cualquier función continua sumando suficientes ondas sinusoidales de la frecuencia y amplitud apropiada. Supongamos que un cristal imaginario que tiene tres átomos en la celda dos carbonos y un oxígeno. La densidad electrónica de la celda se verá así:

Ahora trataremos de representar esta función en términos de ondas sinusoidales. La primera tiene una frecuencia de 2 (es decir, se repite dos veces a lo largo de la celda). Uno de los picos representará al oxígeno y el otro a los dos carbonos

La segunda onda tiene una frecuencia de tres (se repite tres veces). Pero tiene diferente fase (empieza en diferente lugar que la otra onda). Y además la amplitud es diferente (es más chaparrita)



Finalmente, añadimos una onda con una frecuencia de cinco. Que también tiene diferente amplitud. Y además la alineamos con los dos átomos de carbono



Ahora las ponemos juntas



Y las sumamos:

Nótese que la suma de las tres ondas es una buena aproximación de la celda original.Entonces habiendo escogido correctamente la amplitud, la frecuencia y el número de ondas pudimos representar correctamente la celda. Ahora haremos la transformada de Fourier de la misma celda:

El resultado muestra una serie de picos estando los mayores en 2, 3 y 5 en el eje x, los cuales corresponden a las ondas que elegimos. Si analizamos con cuidado, nos encontramos además que la altura de los picos corresponden a la amplitud de las tres ondas. Los picos pequeños de la transformada corresponden a ondas adicionales que se requirieron para ajustar perfectamente la densidad original. Entonces la transformada de Fourier nos dice cual es la mezcla de ondas sinusoidales que se necesitan para hacer cualquier función. Obviamente las ondas se siguen hasta el infinito, de manera que tenemos muchísimas copias de la celda unitaria. Otras características de la transformada son que los valores de frecuencia pueden ser positivos o negativos y además son sus valores son complejos no reales.

Pero ¿Cuál es la conexión entre la difracción de Rayos X y las transformadas de Fourier?. Para responder esto, debemos deducir ¿cómo un sólido cualquiera dispersará una onda incidente. Así cuando la onda choca con el sólido, la radiación se dispersará. Consideraremos la onda difractada en una dirección particular, y calcularemos la dispersión total sumando la dispersión en esa dirección desde cada uno de los puntos del sólido. La dirección del haz incidente la representamos por el vector k. El haz difractado en la dirección escogida será k’. Por conveniencia, hacemos que su magnitud sea el recíproco de la longitud de onda del haz:

Una gráfica que presenta esto es esta:

Ahora debemos hacer la suma de la dispersión en todo el sólido y escoger un origen dentro del sólido. Luego calculamos la diferencia entre la longitud de las trayectorias entre un haz dispersado desde un punto arbitrario y un haz imaginario dispersado desde el origen.

La diferencia de en la longitud de la trayectoria se traduce en una diferencia de fase entre las dos ondas. Al sumar la dispersión en todo el sólido tomando en consideración la capacidad de dispersión de cada punto, p(r) y de la representación compleja del cambio de fase. Si sustituimos un nuevo vector s para la diferencia entre k y k’, obtenemos la integral de Fourier estándar:

Definiendo:



y sumando para todas las r:

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Ley de Bragg

La ley de Bragg permite estudiar las direcciones en las que la difracción de rayos X sobre la superficie de un cristal produce interferencias constructivas, dado que permite predecir los ángulos en los que los rayos X son difractados por un material con estructura atómica periódica (materiales cristalinos).

Fue derivada por los físicos británicos William Henry Bragg y su hijo William Lawrence Bragg en 1913. La ley de Bragg confirma la existencia de partículas reales en la escala atómica, proporcionando una técnica muy poderosa de exploración de la materia, la difracción de rayos X. Los Bragg fueron premiados con el Premio Nobel de Física en 1915 por sus trabajos en la determinación de la estructura cristalina del NaCl, el ZnS y el diamante.

Interferencia y difracción

Cuando los rayos X alcanzan un átomo interaccionan con sus electrones exteriores. Éstos reemiten la radiación electromagnética incidente en diferentes direcciones y con la misma frecuencia (en realidad debido a varios efectos hay pequeños cambios en su frecuencia). Este fenómeno se conoce como dispersión de Rayleigh (o dispersión elástica). Los rayos X reemitidos desde átomos cercanos interfieren entre sí constructiva o destructivamente. Este es el fenómeno de la difracción.

En el diagrama que sigue se esquematizan rayos X que inciden sobre un cristal. Los átomos superiores reemiten la radiación tras ser alcanzados por ella. Los puntos en los que la radiación se superpone constructivamente se muestran como la zona de intersección de los anillos. Se puede apreciar que existen ángulos privilegiados en los cuales la interferencia es constructiva, en este caso hacia la derecha con un ángulo en torno a 45º.

La radiación incidente llega a átomos consecutivos con un ligero desfase (izquierda). La radiación dispersada por los átomos (círculos azules) interfiere con radiación dispersada por átomos adyacentes. Las direcciones en las que los círculos se superponen son direcciones de interferencia constructiva.

La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fase entre la radiación emitida por diferentes átomos es proporcional a 2π. Esta condición se expresa en la ley de Bragg:



donde

n es un número entero,
λ es la longitud de onda de los rayos X,
d es la distancia entre los planos de la red cristalina y,
θ es el ángulo entre los rayos incidentes y los planos de dispersión.




De acuerdo al ángulo de desviación (2θ), el cambio de fase de las ondas produce interferencia constructiva (figura izquierda) o destructiva (figura derecha).

Deducción de la Ley de Bragg

Consideramos la figura de abajo conformada por planos de átomos distanciados a una longitud d. Para el primer plano, las rayos 1 y 1a golpean los átomos K y P los cuales son dispersados en todas la direcciones; pero para cierta dirección, estos rayos (1’ y 1a') se encuentran en fase y por lo tanto se cumple que:

QK − PR = PKcosθ − PKcosθ = 0

Esta condición se cumple para cada plano.

Para analizar los rayos dispersados por átomos en diferentes planos se toma los rayos 1 y 2 de la figura de arriba. Estos rayos son dispersados por los átomos K y L, la diferencia en sus caminos ópticos es ML + LN = d'sen(θ) + d'sen(θ) .

Así estos rayos estarán completamente en fase si su diferencia de caminos es igual a un número entero (n) de longitudes de onda λ, de tal manera que se cumple que nλ = 2d'sen(θ)


Otra manera de deducir la Ley de Bragg es considerar ahora una diferencia de fase. Para dos rayos difractados se tiene que la diferencia de fase es igual 2πr(Ks − Ki) = 2πrR

Donde R = (Ks − Ki) , r es la distancia de separación entre los planos y K es el vector de onda. Para la Fig de arriba,

Para que haya una interferencia constructiva r R es un múltiplo de uno de tal manera que

Analogía

Se puede expresar esta ley considerando una analogía con un caso más simple. Consideremos que los planos cristalográficos son representados por espejos semi transparentes en los que la radiación incidente es reemitida en parte en cada uno de los planos. Las interferencias formadas entonces se rigen por la ley de Bragg. De hecho, la fórmula de Bragg es idéntica a las interferencias producidas en una capa delgada de aire obtenidas en un interferómetro de Michelson. De manera más estricta hay que tener en cuenta que las ondas son dispersadas por átomos individuales alineados de manera periódica.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Bragg


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Consecuencias del la reciprocidad

Consecuencias de la reciprocidad

– ¿qué ocurrirá cuando pongamos un arreglo donde las distancias entre los dispersores son menores?

Pues que las señales de difracción se separan más para el caso de las distancias menores y esto ocurre porque:


¿Y que pasará si pongo un cuadrado?



Que el número de dimensiones con reflexiones aumenta



¿Si ahora pongo un rectángulo?



Las reflexiones y su distribución cambian de forma



¿Si ahora pongo una red oblicua?



Otra vez reflexiones y su distribución cambian de forma



¿Si ahora hago una translación de la red oblicua?



La translación hecha es tanto en el eje de las x como en el de las y



Un buen observador inmediatamente notará que esta vez no hay cambios en la distribución de reflexiones respecto al caso anterior. De esta manera, tenemos que es posible relacionar cualquier punto de la red real a un punto de la red recíproca.



Para pasar de uno a otro empleamos esta transformación:

Vector normal a los planos (-1, 0)



Esto mismo lo haremos con diferentes familias de planos

Vector normal a los planos (-2, 1)



Vector normal a los planos (-1, 1)



Vector normal a los planos (-2, 1)

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El espacio Recíproco

El espacio recíproco

El espacio recíproco y el espacio directo son recíprocos uno del otro y están relacionados por la transformada de Fourier. Al espacio recíproco se le llama también espacio de Fourier o espacio de fase.

En el espacio recíproco se puede definir la llamada lattice recíproca, como el conjunto de puntos imaginarios construidos de tal manera que la dirección de un vector desde un punto a otro del espacio recíproco, coincide con la dirección perpendicular a los planos del espacio real La separación de estos puntos (el valor absoluto del vector) es igual al valor recíproco de la distancia interplanar real.

Ewald inventó una construcción geométrica para visualizar cuales de los planos de Bragg están correctamente orientados para que ocurra la difracción Los puntos en la red recíproca representan los planos que forman la red real (red cristalina).Entonces la red cristalina determina (a través de relaciones definidas) los vectores de la red recíproca, el espaciamiento de los puntos de la en la red y las direcciones recíprocas asociadas. Si consideramos una red cristalina bidimensional definida por a, b y el ángulo γ, donde se muestran los planos d100 y d010, la red recíproca de esta, estará construida por los vectores recíprocos a* y b* y estarán separados por el ángulo γ∗

a* será perpendicular a los planos d100 y su magnitud será igual al recíproco de la distancia entre dichos planos. De manera similar b* será perpendicular a los planos d010 y su magnitud será igual al recíproco de la distancia entre dichos planos y por tanto γ + γ∗ =180º



Debido a las relaciones lineales que existen entre los planos se genera una red periódica estas relaciones lineales son como esta:


En general la periodicidad de la red periódica estará dada por esta expresión:


La expresión vectorial de los vectores de la red que definen cada plano hkl es esta:


Donde n es el vector unitario normal a los planos hkl para las redes que no son primitivas, como por ejemplo una que sea centrada en el cuerpo, pueden presentarse ausencias sistemáticas en la red recíproca, esto se debe a la construcción de la red. En esta figura se muestra como se usa una celda unitaria mayor (en verde) en vez de la primitiva (en rojo). Esta celda tiene la ventaja del ángulo recto entre a y b.

Esta red recíproca se construye usando los diferentes vectores de la red y distancias interplanares. Cuando se etiqueta respecto a los nuevos vectores de red recíprocos, las reflexiones vacías estarán ausentes.

Estas ausencias ayudan a distinguir las diferentes clases de redes cristalinas pues cada una tiene tiene ausencias sistemáticas características. En este caso los puntos con h+k es un entero impar están ausentes, debido a la definición de la celda unitaria. Si consideramos un círculo de radio r con dos puntos X y Y en su circunferencia.

Si el ángulo XAY se define como θ, entonces por simple geometría el ángulo X0Y será 2θ, y si además:

Si esta geometría se construye en la en el espacio recíproco,tiene implicaciones muy importantes. Si el radio se define como el inverso de la longitud de onda del haz de rayos X. Si Y es es el punto 000 de la red recíproca y X es un punto cualquiera hkl, entonces la distancia XY es:

Y por lo tanto:


El espacio recíproco, la esfera de Ewald

Entonces resumiendo, el espacio recíproco representa a los conjuntos de planos de la red cristalina:



Cada punto puede etiquetarse, de manera que el punto 000 es el origen del cristal y cada uno de los puntos representa una familia de planos del cristal



Este punto es donde incide el haz de rayos X, descrito por el inverso de su longitud de onda, pues estamos en el espacio recíproco



De esta manera podemos generamos una esfera con un radio igual al inverso de la longitud de onda y con el punto 000 tangente:



Si ahora giramos la dirección del haz de rayos X, veremos que en la superficie de la esfera aparece una reflexión



Y veremos que las condiciones de difracción en ese ángulo se cumplen



Nótese que el haz difractado está a 2θ del haz incidente

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