Blog de Victor Vega: El espacio Recíproco

El espacio recíproco

El espacio recíproco y el espacio directo son recíprocos uno del otro y están relacionados por la transformada de Fourier. Al espacio recíproco se le llama también espacio de Fourier o espacio de fase.

En el espacio recíproco se puede definir la llamada lattice recíproca, como el conjunto de puntos imaginarios construidos de tal manera que la dirección de un vector desde un punto a otro del espacio recíproco, coincide con la dirección perpendicular a los planos del espacio real La separación de estos puntos (el valor absoluto del vector) es igual al valor recíproco de la distancia interplanar real.

Ewald inventó una construcción geométrica para visualizar cuales de los planos de Bragg están correctamente orientados para que ocurra la difracción Los puntos en la red recíproca representan los planos que forman la red real (red cristalina).Entonces la red cristalina determina (a través de relaciones definidas) los vectores de la red recíproca, el espaciamiento de los puntos de la en la red y las direcciones recíprocas asociadas. Si consideramos una red cristalina bidimensional definida por a, b y el ángulo γ, donde se muestran los planos d100 y d010, la red recíproca de esta, estará construida por los vectores recíprocos a* y b* y estarán separados por el ángulo γ∗

a* será perpendicular a los planos d100 y su magnitud será igual al recíproco de la distancia entre dichos planos. De manera similar b* será perpendicular a los planos d010 y su magnitud será igual al recíproco de la distancia entre dichos planos y por tanto γ + γ∗ =180º

Debido a las relaciones lineales que existen entre los planos se genera una red periódica estas relaciones lineales son como esta:

En general la periodicidad de la red periódica estará dada por esta expresión:

La expresión vectorial de los vectores de la red que definen cada plano hkl es esta:

Donde n es el vector unitario normal a los planos hkl para las redes que no son primitivas, como por ejemplo una que sea centrada en el cuerpo, pueden presentarse ausencias sistemáticas en la red recíproca, esto se debe a la construcción de la red. En esta figura se muestra como se usa una celda unitaria mayor (en verde) en vez de la primitiva (en rojo). Esta celda tiene la ventaja del ángulo recto entre a y b.

Esta red recíproca se construye usando los diferentes vectores de la red y distancias interplanares. Cuando se etiqueta respecto a los nuevos vectores de red recíprocos, las reflexiones vacías estarán ausentes.

Estas ausencias ayudan a distinguir las diferentes clases de redes cristalinas pues cada una tiene tiene ausencias sistemáticas características. En este caso los puntos con h+k es un entero impar están ausentes, debido a la definición de la celda unitaria. Si consideramos un círculo de radio r con dos puntos X y Y en su circunferencia.

Si el ángulo XAY se define como θ, entonces por simple geometría el ángulo X0Y será 2θ, y si además:

Si esta geometría se construye en la en el espacio recíproco,tiene implicaciones muy importantes. Si el radio se define como el inverso de la longitud de onda del haz de rayos X. Si Y es es el punto 000 de la red recíproca y X es un punto cualquiera hkl, entonces la distancia XY es:

Y por lo tanto:

El espacio recíproco, la esfera de Ewald

Entonces resumiendo, el espacio recíproco representa a los conjuntos de planos de la red cristalina:

Cada punto puede etiquetarse, de manera que el punto 000 es el origen del cristal y cada uno de los puntos representa una familia de planos del cristal

Este punto es donde incide el haz de rayos X, descrito por el inverso de su longitud de onda, pues estamos en el espacio recíproco

De esta manera podemos generamos una esfera con un radio igual al inverso de la longitud de onda y con el punto 000 tangente:

Si ahora giramos la dirección del haz de rayos X, veremos que en la superficie de la esfera aparece una reflexión

Y veremos que las condiciones de difracción en ese ángulo se cumplen

Nótese que el haz difractado está a 2θ del haz incidente